Demoduladores: princípios básicos para AM e FM

O processo básico das telecomunicações consiste em adicionar o sinal das informações que se deseja transmitir ao sinal de transmissão (portadora), ou seja, uma modulação. No receptor, deve ocorrer o processo inverso, isto é, o sinal original deve ser separado do sinal recebido por um circuito demodulador (ou detector).

Existem várias formas de modulação e demodulação. Nesta página, as mais comuns para esta última e alguns circuitos também comuns.

1-) Modulação de amplitude (AM): conceitos básicos 

Depois da telegrafia, é certamente o método mais antigo de transmissão e recepção de sinais. Ainda bastante usado em rádio, televisão analógica e outros equipamentos de comunicação.

Neste processo, a intensidade (ou amplitude) da portadora varia de acordo com o sinal que se deseja transmitir. Por isso, pode-se imaginar que só há uma freqüência de transmissão, pois somente a amplitude varia. Mas isso não é verdadeiro. Ver na Figura 1.1 abaixo.

Quando um sinal modulante de freqüência f_s varia a amplitude de uma portadora de freqüência f_p, há na realidade formação de duas novas portadoras, chamadas bandas laterais, de freqüências acima e abaixo da portadora, conforme indicadas na figura:
(f_p+f_s e f_p-f_s).

Portanto, o que realmente se transmite é a portadora e as bandas laterais. E notar que toda informação do sinal modulante está nestas últimas e não na portadora central.

A distribuição de freqüências pode ser vista de forma aproximada na Figura 1.2 ao lado, que exibe a portadora e as respectivas bandas laterais.

Observação: aqui é considerado o caso mais simples, isto é, o de sinais senoidais, tanto para a portadora quanto para o de modulação.

Os gráficos da Figura 1.1 foram obtidos em uma planilha Excel, com dados numéricos calculados em intervalos discretos. O autor usou valores de intervalos de forma a evitar uma planilha muito grande e, portanto, algumas formas de onda não parecem exatamente senoidais devido a aproximações. Mas devem assim ser consideradas.

A suposição de um sinal senoidal simples é apenas uma questão de clareza. Um sinal mais complexo como áudio tem um espectro contínuo, hipoteticamente representado na parte esquerda da Figura 1.3. E o sinal modulado terá espectro conforme indicado na mesma figura.

Notar que o sinal modulado tem o dobro da largura de banda do modulante.

2-) Modulação de amplitude (AM): formulação matemática 

Seja a tensão do sinal da portadora dada por: V_p(t) = A_p sen(2 p f_p t). E a do sinal modulante dada por: V_s(t) = A_s sen (2 p f_s t).

Se desejamos modular a amplitude da portadora pelo sinal, o coeficiente Ap deverá ser substituído por [A_p + V_s(t)]. Assim, V_p(t) = [A_p + A_s sen (2 p f_s t)] sen(2 p f_p t).

Considerando o fator m = A_s / A_p, a amplitude da portadora é dada por:
A(t) = A_p + m A_p sen(2 p f_s t). E, colocando A_p em evidência, temos:
A(t) = A_p [1 + m sen(2 p f_s t)]. E a portadora modulada será dada por:

V_p(t) = A_p [1 + m sen(2 p f_s t)] sen(2 p f_p t) #II.1#.

O fator m é chamado índice de modulação. Ele indica quanto da amplitude da portadora é variada pelo sinal modulante. Um valor nulo significa ausência de modulação e um fator igual a um indica que toda a amplitude da portadora é afetada, isto é, varia de 0 até 2A_p.

Trabalhando a última igualdade: V_p(t) = A_p sen(2 p f_p t) + m A_p sen(2 p f_s t) sen(2 p f_p t). E, substituindo o produto dos senos pela respectiva igualdade trigonométrica, temos:

V_p(t) = A_p sen(2 p f_p t) + (m A_p/2) cos(2 p f_p t - 2 p f_s t) - (m A_p/2) cos(2 p f_p t + 2 p f_s t) #II.2#.

E o resultado está de acordo com a Figura 1.1 do tópico anterior: o sinal modulado é igual à soma da portadora (parcela em vermelho na equação) mais dois sinais de freqüências iguais à soma e à diferença das freqüências da portadora e do sinal modulante (parcelas em verde).


Potência dos sinais

A potência de um sinal senoidal é proporcional ao quadrado da sua amplitude. Considerando um fator de proporcionalidade k, temos para a portadora:

P_p = k (A_p)²#II.3#. E para cada banda lateral:
P_b = k (m A_p/2)²#II.4#. Ou seja, aumenta com o aumento do índice de modulação.

Desde que a informação do sinal modulante está nas bandas laterais, é importante manter o índice de modulação o mais alto possível para a melhor transmissão. Entretanto, ele não deverá ultrapassar a unidade para evitar a sobremodulação, que distorce o sinal transmitido.

3-) Modulação de freqüência (FM): conceitos básicos  

A modulação de amplitude apresenta a desvantagem da elevada sensibilidade a interferências. Isto é facilmente observado ao se sintonizar um receptor de AM.

Se, em vez de variar a amplitude, o sinal modulante variar a freqüência da portadora, pode-se esperar uma uma melhor qualidade de transmissão, uma vez que a freqüência do sinal não é afetada por interferências. Ver Figura 3.1 ao lado.

A contrapartida para a melhor qualidade da FM é uma largura de banda maior. No caso de rádios, enquanto uma transmissão de AM pode ser razoavelmente efetuada numa faixa de 10 kHz, uma de FM precisa de larguras tão altas como 150 a 200 kHz para uma boa qualidade. Por isso, as freqüências reservadas para transmissões comerciais de rádios de FM estão na faixa de VHF, de 88 a 108 MHz, para acomodar um número razoável de estações.

4-) Modulação de freqüência (FM): formulação matemática

O modelo matemático da FM não é tão simples quanto o da AM. O seu desenvolvimento completo exige conceitos como séries de Fourier e funções de Bessel. Aqui são apresentadas apenas as informações básicas, ficando os demais desenvolvimentos para uma futura atualização desta página.

O conceito de FM pode ser entendido como um caso particular de um mais genérico, chamado modulação de ângulo. Seja uma portadora de amplitude constante, cujo ângulo de fase varie conforme uma função f(t): V_p = A_p cos[2 p f_p t + f(t)]. Podemos dizer que:

F(t) = 2 p f_p t + f(t) é a fase instantânea da portadora e f(t) é o desvio de fase da portadora.

A freqüência angular instantânea w(t) é dada pela derivação da fase instantânea em relação ao tempo: w(t) = d[F(t)] / dt = 2 p f_p + d[f(t)] / dt.

A freqüência instantânea f_i(t) é obtida pela divisão da freqüência angular por 2 p (radianos):
f_i(t) = w(t) / 2 p = f_p + (1 / 2 p ) d[f(t)] / dt. E o termo d[f(t)] / dt é dito variação angular da freqüência.

Se fazemos a variação angular de freqüência proporcional a um sinal modulante V_s(t) com um fator de proporcionalidade k, temos: d[f(t)] / dt = 2 p k V_s(t). E a freqüência instantânea será dada por: f_i(t) = f_p + k V_s(t). Ou seja, a freqüência instantânea da portadora varia linearmente com o sinal modulante.

Observar que se fizéssemos o desvio de fase proporcional ao sinal, f(t) = 2 p k V_s(t), não haveria uma modulação de freqüência mas sim uma modulação de fase. Mas esta última não está no escopo desta página.

Seja agora um sinal modulante senoidal dado por V_s(t) = A_s cos(2 p f_s t). Substituindo na equação da freqüência instantânea: f_i(t) = f_p + k A_s cos(2 p f_s t). Desde que o máximo valor absoluto do co-seno é 1, podemos dizer que o máximo desvio de freqüência é Df = k A_s.

E o fator b = Df / f_s é o índice de modulação da FM.

Da igualdade anterior, d[f(t)] / dt = 2 p k V_s(t), podemos fazer f(t) = 2 p k ò_0-t V_s(u) du. Fazendo para o sinal senoidal, temos: f(t) = 2 p k ò_0-t A_s cos(2 p f_s u) du = 2 p k A_s sen(2 p f_s t) / 2 p f_s.
Substituindo, f(t) = (Df / f_s) sen(2 p f_s t) = b sen(2 p f_s t).

E o sinal da portadora senoidal com uma modulante senoidal será:

V_p(t) = A_p cos[2 p f_p t + b sen(2 p f_s t)] #IV.1#.

Desde que cos(a+b) = cos a cos b - sen a sen b, temos:
V_p = A_p { cos 2 p f_p t cos ( b sen 2 p f_s t) - sen 2 p f_p t sen ( b sen 2 p f_s t) }.

Para pequenos valores de x vale: cos x @ 1 e sen x @ x. Assim, para pequenos índices de modulação: cos ( b sen 2 p f_s t) @ 1 e sen ( b sen 2 p f_s t) @ b sen 2 p f_s t. Portanto,

V_p = A_p cos(2 p f_p t) - A_p sen(2 p f_p t)  b sen(2 p f_s t). E, substituindo pela igualdade trigonométrica do produto dos senos, temos:

V_p(t) = A_p cos(2 p f_p t) + (b A_p / 2) { cos[2 p (f_p + f_s) t] - cos[2 p (f_p - f_s) t] } #IV.2#.

A igualdade anterior indica que, para pequenos índices, uma modulação senoidal de freqüência tem largura de banda similar à da modulação de amplitude (2 fs). Mas isso foi obtido com as aproximações consideradas. Na realidade, a modulação de freqüência tem infinitos pares de bandas laterais. Na prática, são consideradas apenas as mais significativas.

Para índices de modulação maiores,  o modelo é mais complexo e, por enquanto, não é dado.

A Figura 4.1 dá noção da distribuição de bandas significativas para diversos índices. Notar que, quanto maior o índice, menor a amplitude da portadora central. Para alguns valores, ela pode mesmo desaparecer.

Existem algumas fórmulas práticas para determinação aproximada da largura de banda necessária, como esta:

largura de banda = 2 (Df + f_s) #IV.3#.

Exemplo: para modular uma portadora com um sinal de 10 kHz e uma variação de freqüência de 50 kHz (b = 5), a largura de banda seria 2 (50 + 10) = 120 kHz.

5-) Modulação de amplitude (AM): um demodulador comum 

A Figura 5.1 ao lado dá o esquema de um demodulador comum de AM, usado desde os tempos da galena.

Um diodo só permite a passagem dos semiciclos positivos do sinal composto e o filtro RC que segue faz a conformação dos picos, resultando numa aproximação bastante satisfatória do sinal modulante original. É evidente que o capacitor C deve ser adequadamente dimensionado. Um valor alto tende a estabilizar a saída, como em uma fonte de alimentação.

6-) Modulação de freqüência (FM): um detector rudimentar 

Desde que a amplitude da portadora de FM não varia, a demodulação não pode ser feita com o simples diodo da AM. Entretanto, um receptor de AM pode detectar precariamente uma transmissão de FM se puder sintonizar freqüência próxima.
A curva azul da Figura 6.1 é uma aproximação da resposta de freqüências de um receptor de AM sintonizado em uma determinada f_z. Ou seja, quanto mais se afasta da freqüência de sintonia, menor a amplitude do sinal recebido.

Uma portadora de FM, com freqüência central f_p próxima da de sintonia f_z, pode ser detectada, uma vez que a variação de freqüência entre as bandas 1 e 2 produz sinais de diferentes amplitudes devido à curva de resposta dos circuitos ressonantes do receptor.

Notar que, se fp for igual a fz, não haverá detecção pois não haverá variação do sinal com a variação da freqüência.

Entretanto, é uma recepção bastante precária e distorcida, pois se trabalha numa região de baixa sensibilidade do receptor e de não linearidade.

7-) Modulação de freqüência (FM): um detector melhor 

O exemplo do tópico anterior pode sugerir a construção de um detector de FM com o uso de filtro.

Se um filtro, passa-altas ou passa-baixas, tem uma resposta linear, um sinal de freqüência variável aplicado na entrada terá, na saída, amplitude também variável e proporcional à freqüência da entrada.

Na Figura 7.1, visualização gráfica para ambos os tipos de filtro.

Assim, na saída do filtro, haverá um sinal que, além da freqüência, terá amplitude modulada que poderá ser detectada com um conjunto diodo-filtro RC usado em AM.

A Figura 7.2 ao lado exibe o arranjo.

O circuito anterior apresenta uma falha: não há bloqueio contra interferências de AM. Se existirem na entrada, estarão presentes na saída do sinal.
Na Fig 7.3, são usados os dois tipos de filtro, com a freqüência da portadora de FM na interseção das suas linhas.

Há um detector para cada filtro e um amplificador diferencial que recebe os sinais de ambos.

Pode-se concluir que variações de freqüência produzem sinais de diferentes amplitudes e que interferências de AM, teoricamente, produzem sinais de iguais amplitudes nas saídas dos filtros e, portanto, não serão processadas pelo amplificador diferencial.

8-) Modulação de freqüência (FM): um outro detector 

Na Figura 8.1 abaixo um circuito, chamado discriminador por deslocamento de fase, que foi muito usado até certa época.

O transistor Q1 é apenas um amplificador para o sinal FM de entrada.
Os circuitos ressonantes C1/L1 e C2/L2 são sintonizados na freqüência central da portadora.

O indutor L3 é o caminho DC para os diodos D1 e D2.

R3 e R4 são os resistores de saída do sinal e os capacitores C3 e C4 drenam a radiofreqüência, ou seja, têm baixa reatância na faixa de freqüência do sinal de entrada.

C5 é acoplamento da saída.

C6 tem baixa reatância na faixa do sinal de entrada e, desde que C4 também tem conforme já dito, o sinal e em L3 é o sinal aplicado no circuito ressonante primário C1/L1.

e1 e e2 são as tensões induzidas nas metades superior e inferior de L2. Notar que elas sempre estão defasadas de 180° entre si.

Os resistores R1 e R2 não são obrigatórios mas são usados para melhor equilibrar a resistência inversa dos diodos. R3 é igual a R4.

Observar e3 é igual a (e1 + e) e e4 é igual a (e2 + e). Desde que se trata de circuito AC, estas somas devem ser entendidas como vetoriais, pois nem sempre estarão na mesma fase.

Supomos que a freqüência de entrada é igual à de ressonância do circuito: a tensão e está igualmente defasada de 90° em relação a e1 e e2, conforme diagrama central da Figura 8.2. Assim, e3 e e4 têm o mesmo valor absoluto e serão retificadas em contraposição pelos diodos,

resultando em tensão nula na saída.

Se a freqüência de entrada difere da de ressonância do circuito: as reatâncias indutiva e capacitiva do circuito ressonante se tornam diferentes, provocando um desvio de fase entre a tensão de entrada e a tensão induzida no circuito. Notar que e1 e e2 continuam defasados 180° entre si mas o ângulo em relação a e não é mais 90° e a simetria da soma vetorial é desfeita. Assim, os valores de e3 e e4 são diferentes e haverá uma tensão na saída correspondente à diferença. O diagrama esquerdo da Figura 8.2 indica operação acima da ressonância e o direito, o inverso.

Portanto, a saída do circuito é nula na freqüência central da portadora, positiva acima e negativa abaixo. E há proporcionalidade entre a diferença de freqüências e a tensão de saída. Ou seja, a variação de freqüência é convertida em variação de tensão.